Kā atrast atvasinājumu?

Problēma atrast noteiktu funkciju atvasinājumuir viens no galvenajiem matemātikas kursiem vidusskolā un augstākajā izglītībā. Nav iespējams pilnībā izpētīt funkciju, veidot savu grafiku, neveicot tā atvasinājumu. Funkcijas atvasinājumu var viegli atrast, zinot diferenciācijas pamatnoteikumus, kā arī pamatfunkciju atvasinājumu tabulu. Izdomāsim, kā atrast funkciju atvasinājumu.

Atvasinājumu funkciju sauc robeža attiecību Pieauguma funkciju uz pieauguma argumentu, kur arguments pieaugums mēdz nullei.

Ir diezgan grūti saprast šo definīciju, jorobeža jēdziens nav pilnībā apgūta skolā. Bet, lai atrastu dažādu funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams izprast definīciju, atstāsim to matemātikas speciālistiem un ejam tieši uz atvasinājuma iegūšanu.

Atvasinājuma atrašanas procesu sauc par diferenciāciju. Kad funkcija tiek diferencēta, mēs iegūstam jaunu funkciju.

Lai tos apzīmētu, mēs izmantosim latīņu burtus f, g, utt.

Ir daudz dažādu atvasinājumu marķējumu. Mēs izmantosim insultu. Piemēram, g "nozīmē, ka atradīsim g atvasinājumu.

Atvasināto finanšu instrumentu tabula

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrastatvasināto instrumentu, ir nepieciešams iesniegt pamatfunkciju atvasinājumu tabulu. Lai aprēķinātu elementāru funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams veikt sarežģītus aprēķinus. Tas ir pietiekami, lai redzētu tā vērtību atvasinājumu tabulā.

1. C "= 0
2. (sin x) "= cos x
3. (cos x) "= -sin x
4. (xⁿ) "= n x^n-1
5. (e^x) "= e^x
6. (ln x) "= 1 / x
7. (a^x) "= a^xln a
8. (log_ax) "= 1 / x ln a
9. (tan x) "= 1 / cos²x
10. (ctg x) "= - 1 / grēks²x
11. (arcsin x) "= 1 / √ (1-x²)
12. (arccos x) "= - 1 / √ (1-x²)
13. (arctg x) "= 1 / (1 + x²)
14. (arcctg x) "= - 1 / (1 + x²)

Piemērs 1. Atrodiet funkciju atvasinājumu y = 500.

Mēs redzam, ka tas ir nemainīgs. Saskaņā ar atvasinājumu tabulu, ir zināms, ka konstanta atvasinājums ir nulle (formula 1).

(500) "= 0

2. piemērs. Atrodiet funkciju y = x atvasinājumu¹⁰⁰.

Šī ir jaudas funkcija, kuras rādītājs ir 100, un, lai atrastu tā atvasinājumu, eksistētāja reizina funkciju un jāsamazina par 1 (formula 3).

(x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹

Piemērs 3. Atrodi funkciju atvasinājumu y = 5^x

Šī ir eksponenciāla funkcija, tās formulu aprēķina pēc formulas 4.

(5^x) "= 5^xln5

4. piemērs. Atrodiet funkciju y = log žurnāla atvasinājumu₄x

Logaritmas atvasinājums ir atrodams formā 7.

(log₄x) "= 1 / x ln 4

Diferencēšanas noteikumi

Let's tagad izdomāt, kā atrastfunkcija atvasinājums, ja tas nav tabulā. Lielākā daļa no pētītajām funkcijām nav elementāras, bet ir elementāru funkciju kombinācijas ar vienkāršāko operāciju palīdzību (pievienošana, atņemšana, reizināšana, sadalīšana un reizināšana ar skaitli). Lai atrastu to atvasinājumus, ir jāzina diferenciācijas noteikumi. Turklāt burti f un g apzīmē funkcijas, un C ir konstante.

1. Pastāvīgo koeficientu var uzskatīt par atvasinājuma zīmi

(C f) "= C f"

5. piemērs Atrodiet funkciju atvasinājumu y = 6 * x⁸

Mēs ņemam nemainīgu koeficientu 6 un diferencējam tikai x⁴. Šī ir jaudas funkcija, kuras atvasinājums atrodams no atvasinājumu tabulas 3. formulas.

(6 x x⁸) "= 6 * (x⁸) "= 6 * 8 * x⁷= 48 * x⁷

2. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasināto finanšu instrumentu summu

Tad:

(f + g) "= f" + g "

6. piemērs Atrodiet funkciju y = x atvasinājumu¹⁰⁰+ sin x

Funkcija ir divu funkciju summa, kuru atvasinājumi atrodami no tabulas. Tā kā (x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹ un (sin x) "= cos x. Summas atvasinājums būs vienāds ar šo atvasinājumu summu:

(x¹⁰⁰+ sin x) "= 100 x⁹⁹+ cos x

3. Atšķirības atvasinājums ir vienāds ar atvasināto finanšu instrumentu starpību

(f-g) "= f" -g "

7. piemērs. Atrodiet funkciju y = x atvasinājumu¹⁰⁰ - cos x

Šī funkcija ir starpība starp divāmfunkcijas, kuru atvasinājumi mēs varam atrast arī no tabulas. Tad starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību, un mēs neaizmirsīsim mainīt zīmi, jo (cos x) "= - sin x.

(x¹⁰⁰ - cos x) "= 100 x⁹⁹ + sin x

8. piemērs Atrodiet funkciju y = e atvasinājumu^x+ tg x-x².

Šajā funkcijā ir summa un atšķirība, mēs atrodam katra vārda atvasinājumus:

(e^x) "= e^x, (tg x) "= 1 / cos²x, (x²) "= 2. Tad sākotnējās funkcijas atvasinājums ir vienāds ar:

(e^x+ tg x-x²) "= e^x+ 1 / cos²x -2 x

4. Darba atvasinājums

(f * g) "= f" * g + f * g "

9. piemērs. Atrodiet funkciju y = cos x * e atvasinājumu^x

Lai to izdarītu, vispirms atrodam katra faktora atvasinājumu (cos x) "= - sin x un (e^x) "= e^x. Tagad mēs aizstāsim visu produkta formā. Pirmo funkciju atkārtoti pastiprina otrais un pirmās funkcijas produkts tiek pievienots otrajam atvasinājumam.

(cos x * e^x) "= e^xcos x - e^x* sin x

5. Atsevišķa atvasinājums

Tad:

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g²

Piemērs 10. Atrodiet funkciju atvasinājumu y = x⁵⁰/ sin x

Lai atrastu koeficienta atvasinājumu, vispirms atrodam skaitītāja un saucēja atvasinājumu atsevišķi: (x⁵⁰) "= 50 x⁴⁹ un (sin x) "= cos x. Nosakot koeficienta atvasinājumu formulā, iegūstam:

(x⁵⁰/ sin x) "= 50x⁴⁹* sin x - x⁵⁰* cos x / sin²x

Sarežģītas funkcijas atvasinājums

Sarežģīta funkcija ir funkcija, ko raksturo vairāku funkciju sastāvs. Lai atrastu sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pastāv arī noteikums:

(u (v)) "= u" (v) * v "

Izdomāsim, kā atrast atvasinājumu no šādas funkcijas. Ļaujiet y = u (v (x)) būt sarežģīta funkcija. Mēs saucam par funkciju u ārējo, un v - iekšējo.

Piemēram:

y = sin (x³) ir sarežģīta funkcija.

Tad y = sin (t) ir ārējā funkcija

t = x³ - iekšējais.

Mēģināsim aprēķināt šīs funkcijas atvasinājumu. Ar formulu, ir nepieciešams reizināt iekšējo un ārējo funkciju atvasinājumus.

(sin t) "= cos (t) ir ārējās funkcijas atvasinājums (kur t = x³)

(x³) "= 3x² ir iekšējās funkcijas atvasinājums

Tad (grēks (x³)) = cos (x³) * 3x²ir sarežģītas funkcijas atvasinājums.